Question

15．要使函數(shù)y=x+$\frac{k}{x}$在x∈[2，+∞）上有最小值2+$\frac{k}{2}$，則k的取值范圍是（-∞，4]．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，討論k的范圍，函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的最小值求解即可．

解答 解：函數(shù)y=x+$\frac{k}{x}$，可得y′=1-$\frac{k}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-k}{{x}^{2}}$．
當(dāng)k≤0時，y′在x∈[2，+∞）上恒為正數(shù)，函數(shù)y=x+$\frac{k}{x}$在x∈[2，+∞）上是增函數(shù)，
x=2時函數(shù)取得最小值2+$\frac{k}{2}$，滿足題意．
當(dāng)k＞0時，x²-k=0，解得x=$±\sqrt{k}$，
要使函數(shù)y=x+$\frac{k}{x}$在x∈[2，+∞）上s是增函數(shù)，函數(shù)的最小值2+$\frac{k}{2}$，
可得$\sqrt{k}≤2$，解得0＜k≤4，
綜上k∈（-∞，4]．
故答案為：（-∞，4]．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想分類討論思想的應(yīng)用．