Question

19．已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}中，a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列，S₂+S₄=19
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n+1×3^a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）設(shè)公差d不為0的等差數(shù)列{a_n}，運(yùn)用等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方程可得a₁=2，d=1，即可得到所求通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求得b_n=a_n+1•3^a_n=（n+2）•3ⁿ⁺¹，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求和．

解答 解：（I）公差d不為0的等差數(shù)列{a_n}中，a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列，
可得a₁a₇=a₃²，即為a₁（a₁+6d）=（a₁+2d）²，
化為a₁=2d，
由S₂+S₄=19，可得2a₁+d+4a₁+6d=19，即為6a₁+7d=19，
解得a₁=2，d=1，
則a_n=a₁+（n-1）d=2+n-1=n+1；
（Ⅱ）數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n+1•3^a_n=（n+2）•3ⁿ⁺¹，
前n項(xiàng)和T_n=3•3²+4•3³+…+（n+2）•3ⁿ⁺¹，
3T_n=3•3³+4•3⁴+…+（n+2）•3ⁿ⁺²，
相減可得，-2T_n=27+（3³+3⁴+…+3ⁿ⁺¹）-（n+2）•3ⁿ⁺²
=27+$\frac{27（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（n+2）•3ⁿ⁺²，
化簡(jiǎn)可得T_n=$\frac{2n+3}{4}$•3ⁿ⁺²-$\frac{27}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，同時(shí)考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，注意化簡(jiǎn)整理，屬于中檔題．