Question

3．△ABC中，C=60°，AB=2，則AC+BC的取值范圍為（2，4]．

Answer 1

分析 由已知利用余弦定理，基本不等式可得4=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab≥$\frac{1}{4}$（a+b）²，解得a+b≤4，又利用兩邊之和大于第三邊可得a+b＞2，從而可求AC+BC的取值范圍．

解答 解：在△ABC中，設A、B、C的對邊分別為a，b，c，由題意可得：c=2，
由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，即：4=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab≥$\frac{1}{4}$（a+b）²，
解得：a+b≤4，
又由三角形的性質可得：a+b＞2，
綜上，可得：2＜a+b≤4．
所以AC+BC的取值范圍為：（2，4]．
故答案為：（2，4]．

點評 本題主要考查余弦定理，基本不等式在解三角形中的應用，考查了轉化思想，解決這類問題的關鍵在于對公式的熟練掌握以及靈活運用，屬于中檔題．