Question

設(shè)向量，定義一種向量積．

已知向量，，點為的圖象上的動點，點 為的圖象上的動點，且滿足（其中為坐標原點）．

（1）請用表示；

（2）求的表達式并求它的周期；

（3）把函數(shù)圖象上各點的橫坐標縮小為原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象.設(shè)函數(shù)，試討論函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù).

 

Answer 1

（1）;（2）;（3）當或時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個零點；當時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個零點；當或時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點.

【解析】

試題分析：解題思路：（1)利用定義的運算用表示即可；（2）根據(jù)圖像變換得到的解析式，(3)得出的單調(diào)區(qū)間，討論零點個數(shù)即可.規(guī)律總結(jié)：（1）對于新定義題目，要真正理解定義，想法與所學(xué)知識聯(lián)系，是解決新定義題目的關(guān)鍵；（2）討論零點個數(shù)，即討論圖像與軸的交點個數(shù)..

試題解析：（1），

（2），

，即，

 

所以，它的周期為.

(3)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

又，

當或時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個零點；當時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個零點；當或時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點.

考點：新定義型題、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、函數(shù)的零點.