Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（ax²-2x-2），a∈R且a≠0．
（1）若曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線與y軸垂直，求a的值；
（2）當a＞0時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2]上的最小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導f′（x）=e^x（ax²-2x+2ax-2-2）=e^x（ax-2）（x+2），從而令f′（2）=e²（2a-2）（2+2）=0解得；
（2）由（1）知，f′（x）=e^x（ax-2）（x+2），x∈（0，2]；從而可得f（x）的單調性，從而求最值．

解答： 解：（1）∵f′（x）=e^x（ax²-2x+2ax-2-2）=e^x（ax-2）（x+2），
∴f′（2）=e²（2a-2）（2+2）=0，
∴a=1；
（2）f′（x）=e^x（ax-2）（x+2），x∈（0，2]；
∵a＞0，
∴當x∈（

2

a

，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；
當x∈（0，

2

a

）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；
故當

2

a

≥2，即0＜a≤1時，f_min（x）=f（2）=e²（4a-6）；
當0＜

2

a

＜2，即a＞1時，f_min（x）=f（

2

a

）=-2e

2

a

．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及分類討論的數(shù)學思想應用，屬于中檔題．