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7.已知函數(shù)f(x)=(1+x)2n,g(x)=(1-x)2n.求證:
(1)C2n1+2C2n2+3C2n3+…+2nC2n2n=n22n
(2)(Cn02+(Cn12+(Cn22+…+(Cnn2=C2nn
(3)f(x)+g(x)<4n,其中|x|<1,n∈N+

分析 (1)通過Cr2n=C2nr2n,利用倒序相加法計算即得結(jié)論;
(2)利用(1+x)2n=(1+x)n•(1+x)n,并兩端分別展開,通過等式兩端xn的系數(shù)相等及Cr2n=C2nr2n,化簡即得結(jié)論;
(3)利用二項式定理將f(x)=(1+x)2n、g(x)=(1-x)2n并展開相加,然后利用|x|<1放縮,通過逆用二項式定理即得結(jié)論.

解答 證明:(1)記C2n1+2C2n2+3C2n3+…+2nC2n2n=t,
則由Cr2n=C2nr2n可知,C2n2n-1+2C2n2n-2+3C2n2n-3+…+2nC2n0=t,
兩式相加得:2t=2n[C2n0+C2n1+C2n2+C2n3+…+C2n2n],
又∵f(1)=(1+1)2n=C2n0+C2n1+C2n2+C2n3+…+C2n2n,
∴t=n•22n,即C2n1+2C2n2+3C2n3+…+2nC2n2n=n22n;
(2)∵f(x)=(1+x)2n=(1+x)n•(1+x)n
∴C2n0+C2n1x+C2n2x2+C2n3x3+…+C2n2nx2n=(Cn0+Cn1x+Cn2x2+Cn3x3+…+Cnnxn)•(Cn0+Cn1x+Cn2x2+Cn3x3+…+Cnnxn),
比較等式兩端xn的系數(shù)可知,C0nCnn+C1nCn1n+…+CnnC0n=Cn2n,
又∵Cr2n=C2nr2n,
∴(Cn02+(Cn12+(Cn22+…+(Cnn2=C2nn;
(3)∵f(x)=(1+x)2n,g(x)=(1-x)2n
∴f(x)=C2n0+C2n1x+C2n2x2+C2n3x3+…+C2n2nx2n,
g(x)=C2n0-C2n1x+C2n2x2-C2n3x3+…+(-1)rC2nr2nxr+…+C2n2nx2n,
∵|x|<1,n∈N+,
∴xr<1(r=0,1,2,…,2n),
∴f(x)+g(x)=[C2n0+C2n1x+C2n2x2+C2n3x3+…+C2n2nx2n]+[C2n0-C2n1x+C2n2x2-C2n3x3+…+(-1)rC2nr2nxr+…+C2n2nx2n]
=2[C2n0+C2n2x2+…+C2n2r2nx2r+…+C2n2nx2n]
<2[C2n0+C2n2+…+C2n2r2n+…+C2n2n]
=[C2n0+C2n1+C2n2+C2n3+…+C2n2n]+[C2n0-C2n1+C2n2-C2n3+…+(-1)rC2nr2n+…+C2n2n]
=(1+1)2n+(1-1)2n
=4n

點(diǎn)評 本題考查二項式定理的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,注意解題方法的積累,屬于中檔題.

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