Question

已知橢圓過(guò)點(diǎn)，其焦距為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知橢圓具有如下性質(zhì)：若橢圓的方程為，則橢圓在其上一點(diǎn)處

的切線方程為，試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問(wèn)題：

（i）如圖（1），點(diǎn)為在第一象限中的任意一點(diǎn)，過(guò)作的切線，分別與軸和軸的正

半軸交于兩點(diǎn)，求面積的最小值；

（ii）如圖（2），過(guò)橢圓上任意一點(diǎn)作的兩條切線和，切點(diǎn)分別為

．當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在定圓恒與直線相切？若存在，求出圓的方程；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)橢圓的方程，用待定系數(shù)法求解即可；（2）解決直線和橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)注意：第一步：根據(jù)題意設(shè)直線方程，有的題設(shè)條件已知點(diǎn)，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點(diǎn)不定，可由點(diǎn)斜式設(shè)直線方程．第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個(gè)元，得到一個(gè)一元二次方程．第三步：求解判別式計(jì)算一元二次方程根．第四步：寫(xiě)出根與系數(shù)的關(guān)系．第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問(wèn)題中結(jié)論．在解決與拋物線性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點(diǎn)來(lái)解題，特別是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線的問(wèn)題更是如此．

試題解析：（I）【解析】
依題意得：橢圓的焦點(diǎn)為，由橢圓定義知：

，所以橢圓的方程為．

（II）（�。┰O(shè)，則橢圓在點(diǎn)B處的切線方程為

令，，令，所以

又點(diǎn)B在橢圓的第一象限上，所以

，當(dāng)且僅當(dāng)

所以當(dāng)時(shí)，三角形OCD的面積的最小值為

（Ⅲ）設(shè)，則橢圓在點(diǎn)處的切線為：

又過(guò)點(diǎn)，所以，同理點(diǎn)也滿足，

所以都在直線上，

即：直線MN的方程為

所以原點(diǎn)O到直線MN的距離，

所以直線MN始終與圓相切．

考點(diǎn)：(1)橢圓的方程以及直線與橢圓的綜合問(wèn)題，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想和分析問(wèn)題的能力 ．