已知橢圓過(guò)點(diǎn)
,其焦距為
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知橢圓具有如下性質(zhì):若橢圓的方程為,則橢圓在其上一點(diǎn)
處
的切線方程為,試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問(wèn)題:
(i)如圖(1),點(diǎn)為
在第一象限中的任意一點(diǎn),過(guò)
作
的切線
,
分別與
軸和
軸的正
半軸交于兩點(diǎn),求
面積的最小值;
(ii)如圖(2),過(guò)橢圓上任意一點(diǎn)
作
的兩條切線
和
,切點(diǎn)分別為
.當(dāng)點(diǎn)
在橢圓
上運(yùn)動(dòng)時(shí),是否存在定圓恒與直線
相切?若存在,求出圓的方程;
若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1);(2)
;(3)
.
【解析】
試題分析:(1)設(shè)橢圓的方程,用待定系數(shù)法求解即可;(2)解決直線和橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)注意:第一步:根據(jù)題意設(shè)直線方程,有的題設(shè)條件已知點(diǎn),而斜率未知;有的題設(shè)條件已知斜率,點(diǎn)不定,可由點(diǎn)斜式設(shè)直線方程.第二步:聯(lián)立方程:把所設(shè)直線方程與橢圓的方程聯(lián)立,消去一個(gè)元,得到一個(gè)一元二次方程.第三步:求解判別式計(jì)算一元二次方程根.第四步:寫(xiě)出根與系數(shù)的關(guān)系.第五步:根據(jù)題設(shè)條件求解問(wèn)題中結(jié)論.在解決與拋物線性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí),要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點(diǎn)來(lái)解題,特別是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線的問(wèn)題更是如此.
試題解析:(I)【解析】
依題意得:橢圓的焦點(diǎn)為,由橢圓定義知:
,所以橢圓
的方程為
.
(II)(�。┰O(shè),則橢圓
在點(diǎn)B處的切線方程為
令,
,令
,所以
又點(diǎn)B在橢圓的第一象限上,所以
,當(dāng)且僅當(dāng)
所以當(dāng)時(shí),三角形OCD的面積的最小值為
(Ⅲ)設(shè),則橢圓
在點(diǎn)
處的切線為:
又過(guò)點(diǎn)
,所以
,同理點(diǎn)
也滿足
,
所以都在直線
上,
即:直線MN的方程為
所以原點(diǎn)O到直線MN的距離,
所以直線MN始終與圓相切.
考點(diǎn):(1)橢圓的方程以及直線與橢圓的綜合問(wèn)題,同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想和分析問(wèn)題的能力 .
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tan300°+的值是( ).
A.1+ B.-1-
C.1-
D.-1+
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已知函數(shù)的圖像是下列四個(gè)圖像之一,且其導(dǎo)函數(shù)
的圖像如右圖所示,則該函數(shù)的圖像是
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如圖,正方體,則下列四個(gè)命題:
①在直線
上運(yùn)動(dòng)時(shí),三棱錐
的體積不變;
②在直線
上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線
與平面
所成角的大小不變;
③在直線
上運(yùn)動(dòng)時(shí),二面角
的大小不變;
④是平面
上到點(diǎn)D和
距離相等的點(diǎn),則
點(diǎn)的軌跡是過(guò)
點(diǎn)的直線
其中真命題的個(gè)數(shù)是
A.1 B.2 C.3 D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆福建省高二上學(xué)期期末考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知是橢圓
的兩個(gè)焦點(diǎn),過(guò)
的直線與橢圓交于M、N兩點(diǎn),則
的周長(zhǎng)為
A. 16 B. 8 C. 25 D. 32
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆福建省高二上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的漸近線方程是,且雙曲線過(guò)點(diǎn)
(Ⅰ)求雙曲線的方程;
(Ⅱ)過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)作傾斜角為
的直線交雙曲線于
,求
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆福建省高二上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
若點(diǎn)和點(diǎn)
分別為橢圓
的中心和右焦點(diǎn),點(diǎn)
為橢圓上的任意一點(diǎn),則
的最小值為
A. B.
C.
D.1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆福建省晉江市高二下學(xué)期期末理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知(-
)n展開(kāi)式中第三項(xiàng)的系數(shù)比第二項(xiàng)的系數(shù)大162,求:
(1) n的值;(2)展開(kāi)式中含x3的項(xiàng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆福建省等三校高二下學(xué)期期末理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)+ax2?x,a∈R.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)y=f(x)的極值;
(2)是否存在實(shí)數(shù)b∈(0,1),使得當(dāng)x∈(?1,b]時(shí),函數(shù)f(x)的最大值為f(b)?若存在,求實(shí)數(shù)a的取值范圍,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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