已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)+ax2?x,a∈R.
(1)當時,求函數(shù)y=f(x)的極值;
(2)是否存在實數(shù)b∈(0,1),使得當x∈(?1,b]時,函數(shù)f(x)的最大值為f(b)?若存在,求實數(shù)a的取值范圍,若不存在,請說明理由.
(1)在x=1處取到極小值為,在x=0處取到極大值為0;(2)
.
【解析】
試題分析:(1)將代入函數(shù)f(x)解析式,求出函數(shù)f(x)的導函數(shù),令導函數(shù)等于零,求出其根;然后列出x的取值范圍與
的符號及f(x)的單調(diào)性情況表,從表就可得到函數(shù)f(x)的極值;(2)由題意首先求得:
,故應按
分類討論:當a≤0時,易知函數(shù)f(x)在(?1,0)上單調(diào)遞增,在(0,+∞)上單調(diào)遞減,從而當b∈(0,1)時f(b)<f(0),所以不存在實數(shù)b∈(0,1),符合題意;當a>0時,令
有x=0或
,又要按根
大于零,小于零和等于零分類討論;對各種情況求函數(shù)f(x)x∈(?1,b]的最大值,使其最大值恰為f(b),分別求得a的取值范圍,然而將所得范圍求并即得所求的范圍;若求得的a的取值范圍為空則不存在,否則存在.
試題解析:(1)當時,
,
則,化簡得
(x>?1) 2分
列表如下:
x | (-1,0) | 0 | (0,1) | 1 | (1,+ |
+ | 0 | - | 0 | + | |
f(x) | 增 | 極大值 | 減 | 極小值 | 增 |
∴函數(shù)f(x)在(?1,0),(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(0,1)上單調(diào)遞減,且f(0)=0,, 4分
∴函數(shù)y=f(x)在x=1處取到極小值為,
在x=0處取到極大值為0; 5分
(2)由題意
(1)當a≤0時,函數(shù)f(x)在(?1,0)上單調(diào)遞增,在(0,+∞)上單調(diào)遞減,
此時,不存在實數(shù)b∈(0,1),使得當x∈(?1,b]時,函數(shù)f(x)的最大值為f(b); 7分
(2)當a>0時,令有x=0或
,
(ⅰ)當即
時,函數(shù)f(x)在
和(0,+∞)上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減,要存在實數(shù)b∈(0,1),使得當x∈(?1,b]時,函數(shù)f(x)的最大值為f(b),則
,代入化簡得
(1)
令,因
恒成立,
故恒有,∴
時,(1)式恒成立; 10分
(ⅱ)當即
時,函數(shù)f(x)在
和
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減,此時由題,只需
,解得
,又
,
∴此時實數(shù)a的取值范圍是; 12分
(ⅲ)當時,函數(shù)f(x)在
上單調(diào)遞增,
顯然符合題意; 13分
綜上,實數(shù)a的取值范圍是. 14分
考點:1.函數(shù)的極值;2.函數(shù)的最值;3.分類討論.
科目:高中數(shù)學 來源:2015屆福建省高二上學期期中考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
已知橢圓過點
,其焦距為
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知橢圓具有如下性質(zhì):若橢圓的方程為,則橢圓在其上一點
處
的切線方程為,試運用該性質(zhì)解決以下問題:
(i)如圖(1),點為
在第一象限中的任意一點,過
作
的切線
,
分別與
軸和
軸的正
半軸交于兩點,求
面積的最小值;
(ii)如圖(2),過橢圓上任意一點
作
的兩條切線
和
,切點分別為
.當點
在橢圓
上運動時,是否存在定圓恒與直線
相切?若存在,求出圓的方程;
若不存在,請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源:2015屆福建省晉江市高二下學期期末理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
執(zhí)行下面的框圖,若輸入的n是,則輸出
的值是( )
A.120 B.720 C.1440 D.5040
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源:2015屆福建省晉江市高二下學期期末文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
在等差數(shù)列中,若是a2+4a7+a12=96,則2a3+a15等于( )
A.96 B. 48 C.24 D.12
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源:2015屆福建省等三校高二下學期期末理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
已知點是函數(shù)
的圖象上任意不同兩點,依據(jù)圖象可知,線段AB總是位于A、B兩點之間函數(shù)圖象的上方,因此有結(jié)論
成立.運用類比思想方法可知,若點
是函數(shù)
的圖象上任意不同兩點,則類似地有_________________成立.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源:2015屆福建省等三校高二下學期期末理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
定義在上的函數(shù)
,
是它的導函數(shù),且恒有
成立,則( )
A. B.
C. D.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源:2015屆福建省四地六校高二下學期第一次月考理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
已知函數(shù)有極大值和極小值,則實數(shù)
的取值范圍是
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com