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20.如表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù):
x3456
y2.5344.5
(1)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程y=bx+a;
(2)求出R2檢驗(yàn)所求回歸方程是否可靠;
(3)進(jìn)行殘差分析.
(4)試根據(jù)(1)求出的線性回歸方程,預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗是多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤?
(參考數(shù)值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)
\stackrel{∧}=ni=1xi¯xyi¯yni=1xi¯x2         a=¯y-¯x    R2=1-ni=1yi^yi2ni=1yi¯y2

分析 (1)根據(jù)所給的這組數(shù)據(jù)求出利用最小二乘法所需要的幾個(gè)數(shù)據(jù),代入求系數(shù)b的公式,求得結(jié)果,再把樣本中心點(diǎn)代入,求出a的值,得到線性回歸方程.
(2)根據(jù)所給的這組數(shù)據(jù),代入相關(guān)指數(shù)公式,可求出R2
(3)根據(jù)計(jì)算的R2的大小進(jìn)行分析
(4)根據(jù)上一問(wèn)所求的線性回歸方程,把x=100代入線性回歸方程,即可估計(jì)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗

解答 解:(1)對(duì)照數(shù)據(jù),計(jì)算得 4i=1xi2=86,4i=1xiyi=66.5,¯x=4.5,¯y=3.5,
∴回歸方程的系數(shù)為ˆ=66.54×4.5×3.5864×4.52=0.7,ˆa=0.35,
∴所求線性回歸方程為ˆy=0.7x+0.35,
R2=1-4i=1yi^yi24i=1yi¯y2=1-0.0025+0.0225+0.0225+0.00251+0.25+0.25+1=1-0.02=0.98.
(3)∵R2=0.98,非常接近1,故用回歸方程ˆy=0.7x+0.35模擬x,y間的關(guān)系的擬合效果非常好
(4)由(1)求出的線性回歸方程,估計(jì)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為0.7×100+0.35=70.35(噸),
∴估計(jì)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為70.35噸.

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性回歸方程,兩個(gè)變量之間的關(guān)系,除了函數(shù)關(guān)系,還存在相關(guān)關(guān)系,通過(guò)建立回歸直線方程,就可以根據(jù)其部分觀測(cè)值,獲得對(duì)這兩個(gè)變量之間整體關(guān)系的了解.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(3)是否存在實(shí)數(shù)λ,使得不等式λa{\;}_{{{({\sqrt{2}})}^n}}}-λa2n+a{\;}_{2^n}}+1a2n≥0恒成立,若存在,求出λ的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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