Question

9．某商場的20件不同的商品中有$\frac{3}{4}$的商品是進口的，其余是國產(chǎn)的，在進口的商品中高端商品的比例為$\frac{1}{3}$，在國產(chǎn)的商品中高端商品的比例為$\frac{3}{5}$．
（1）若從這20件商品中按分層（分三層：進口高端與進口非高端及國產(chǎn)）抽樣的方法抽取4件，求抽取進口高端商品的件數(shù)；
（2）在該批商品中隨機抽取3件，求恰有1件是進口高端商品且國產(chǎn)高端商品少于2件的概率；
（3）若銷售1件國產(chǎn)高端商品獲利80元，國產(chǎn)非高端商品獲利50元，若銷售3件國產(chǎn)商品，共獲利ξ元，求ξ的分布列及數(shù)學期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）利用分層抽樣的定義進行求解即可，注意按比例抽取即可；
（2）是古典概型的概率問題，但基本事件的個數(shù)不是通過列舉產(chǎn)生的，而是利用組合數(shù)產(chǎn)生；
（3）首先要求出ξ的可能取值，然后求出相應的概率，利用隨機變量的分布列進行求解即可．

解答 解：（1）由題意得，進口的商品有15件，其中5件是高端商品，10件是非高端商品，國產(chǎn)的商品有5件，其中3件是高端商品，2件是非高端商品，
若從這20件商品中按分層抽樣的方法抽取4件，則抽取進口高端商品的件數(shù)為1．
（2）設事件B為“在該批商品中隨機抽取3件，恰有1件是進口高端商品且國產(chǎn)高端商品少于2件”，
事件A₁為“抽取的3件商品中，有1件進口高端商品，0件國產(chǎn)高端商品”，
事件A₂為“抽取的3件商品中，有1件進口高端商品，1件國產(chǎn)高端商品”，
則P（B）=P（A₁）+P（A₂）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{12}^{2}}{{C}_{20}^{3}}$+$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{3}^{1}{C}_{12}^{1}}{{C}_{20}^{3}}$=$\frac{55}{190}$+$\frac{30}{190}$=$\frac{17}{38}$，
所以在該批商品中隨機抽取3件，恰有1件是進口高端商品且國產(chǎn)高端商品少于2件的概率是$\frac{17}{38}$，
（3）由于這批商品中僅有5件國產(chǎn)商品，其中3件是高端商品，2件是非高端商品，
那么，當銷售3件國產(chǎn)商品時，可能有1件高端商品，2件非高端商品，或2件高端商品，
1件非高端商品，或3件都是高端商品，
于是ξ的可能取值為180，210，240．
P（ξ=180）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，P（ξ=210）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，P（ξ=240）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{1}{10}$．
所以ξ的分布列為

ξ	180	210	240
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{10}$

故Eξ=180×$\frac{3}{10}$+210×$\frac{3}{5}$+240×$\frac{1}{10}$=204．

點評 本題主要考查函數(shù)的應用問題，涉及分層抽樣，離散型隨機變量的分布列和期望的計算，考查學生的計算能力．