Question

8．已知直線y=kx-1與雙曲線x²-y²=4．
（1）當它們沒有公共點時，求k取值范圍；
（2）如果直線與雙曲線相交弦長為4，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由題意令$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-{y}^{2}=4}\\{y=kx-1}\end{array}\right.$，得x²-（kx-1）²=4，整理得（1-k²）x²+2kx-5=0，當1-k²=0，k=±1時，顯然符合條件；當1-k²≠0時，有△≥0．
（2）設直線與雙曲線相交于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=4，基礎即可得出．

解答 解：（1）由題意令$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-{y}^{2}=4}\\{y=kx-1}\end{array}\right.$，得x²-（kx-1）²=4，整理得（1-k²）x²+2kx-5=0
當1-k²=0，k=±1時，顯然符合條件；
當1-k²≠0時，有△=20-16k²≥0，解得-$\frac{\sqrt{5}}{2}$≤k≤$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
綜上，k取值范圍是k=±1，-$\frac{\sqrt{5}}{2}$≤k≤$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
（2）設直線與雙曲線相交于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則x₁+x₂=$\frac{-2k}{1-{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{-5}{1-{k}^{2}}$，
則|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[\frac{4{k}^{2}}{（1-{k}^{2}）^{2}}-4×\frac{-5}{1-{k}^{2}}]}$=4，
化為：8k²-9k-1=0，
解得k=±$\frac{\sqrt{9+\sqrt{113}}}{4}$．

點評 本題考查了直線與雙曲線相交問題、弦長公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．