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4.已知橢圓方程為x2a2+y2b2=1ab0,離心率e=32,且短軸長為4.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點P(2,1)作一弦,使弦被這點平分,求此弦所在直線的方程.

分析 (1)根據(jù)橢圓的性質(zhì)列方程組解出a,b,c即可;
(2)設(shè)直線斜率為k,把直線方程代入橢圓方程,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和中點坐標公式列方程即可得出k的值,從而求出直線方程.

解答 解:(1)由已知得{ca=322b=4a2=b2+c2,解得{a2=16b2=4,
∴橢圓的方程為x216+y24=1
(2)由題意知,直線的斜率必存在,
設(shè)斜率為k,則所求直線的方程為y-1=k(x-2),
代入橢圓方程并整理得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0,
設(shè)直線與橢圓的交點為A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=82k2k4k2+1,
∵P是AB的中點,∴82k2k4k2+1=4,解得k=12
∴所求直線方程為y-1=-12(x-2),即x+2y-4=0.

點評 本題考查了橢圓的性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,巧用根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵,屬于中檔題.

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