Question

4．已知橢圓方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，離心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且短軸長(zhǎng)為4．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)P（2，1）作一弦，使弦被這點(diǎn)平分，求此弦所在直線的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)列方程組解出a，b，c即可；
（2）設(shè)直線斜率為k，把直線方程代入橢圓方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程即可得出k的值，從而求出直線方程．

解答 解：（1）由已知得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\\{2b=4}\\{{a^2}={b^2}+{c^2}}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}=16}\\{{b^2}=4}\end{array}}\right.$，
∴橢圓的方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$．
（2）由題意知，直線的斜率必存在，
設(shè)斜率為k，則所求直線的方程為y-1=k（x-2），
代入橢圓方程并整理得（4k²+1）x²-8（2k²-k）x+4（2k-1）²-16=0，
設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=\frac{{8（{2{k^2}-k}）}}{{4{k^2}+1}}$，
∵P是AB的中點(diǎn)，∴$\frac{{8（{2{k^2}-k}）}}{{4{k^2}+1}}=4$，解得$k=-\frac{1}{2}$．
∴所求直線方程為y-1=-$\frac{1}{2}$（x-2），即x+2y-4=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，巧用根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．