Question

15．若直線y=-x+b與曲線x=$\sqrt{1-{y^2}}$恰有一個公共點，則b的取值范圍是$-1≤b＜1或b=\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 曲線x=$\sqrt{1-{y^2}}$即 x²+y²=1（x≥0）表示一個半徑為1的半圓，分類討論求得當直線y=-x+b與曲線x=$\sqrt{1-{y^2}}$即恰有一個公共點時b的取值范圍．

解答 解：曲線x=$\sqrt{1-{y^2}}$即 x²+y²=1（x≥0）表示一個半徑為1的半圓．
當直線y=-x+b經過點A（0，-1）時，求得b=-1，
當直線y=-x+b經過點B（0，1）時，求得b=1，
當直線和半圓相切于點D時，由圓心O到直線y=-x+b的距離等于半徑，
可得$\frac{|b|}{\sqrt{2}}$=1=1，求得b=$\sqrt{2}$，或b=-$\sqrt{2}$（舍去）．
故當直線y=-x+b與曲線x=$\sqrt{1-{y^2}}$即有一個公共點時b的取值范圍是$-1≤b＜1或b=\sqrt{2}$，
故答案為$-1≤b＜1或b=\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了直線與圓相交的性質，考查了學生分析解決問題的能力，屬于基礎題．