Question

如圖,在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD底面ABCD，側(cè)棱，底面ABCD為直角梯形，其中BC//AD，ABAD，AD=2，AB=BC=l，E為AD中點(diǎn)．

（1）求證：PE平面ABCD：

（2）求異面直線PB與CD所成角的余弦值：

（3）求點(diǎn)A到平面PCD的距離.

 

 

Answer 1

（1）證明：在中，，為中點(diǎn)，.又側(cè)面底面，平面平面，平面.平面；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）由題意可根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理來證，已知側(cè)面底面，并且相交于，而為等腰直角三角形，為中點(diǎn)，所以，即垂直于兩個(gè)垂直平面的交線，且平面，所以平面；（2）連結(jié)，由題意可知是異面直線與所成的角，并且三角形是直角三角形，，，，由余弦定理得；（3）利用體積相等法可得解，設(shè)點(diǎn)到平面的距離，即由，得， 而在中，，所以，因此，又，，從而可得解.

（1）證明：在中，，為中點(diǎn)，. 2分

又側(cè)面底面，平面平面，平面.

平面. 4分

（2）【解析】
連結(jié)，在直角梯形中，，，有且.所以四邊形平行四邊形，.由（1）知，為銳角，所以是異面直線與所成的角. 7分

，在中，..在中，

.在中，..

所以異面直線與所成的角的余弦值為. 9分

（3）【解析】
由（2）得.在中，，

，　.

設(shè)點(diǎn)到平面的距離，由，得. 11分

又，解得. 13分

考點(diǎn)：1.線面垂直；2.異面直線角；3.點(diǎn)到面距離.