Question

18．已知直線l⊥平面α，垂足為O，三角形ABC的三邊分別為BC=1，AC=2，AB=$\sqrt{5}$．若A∈l，C∈α，則BO的最大值為1+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先將原問題轉化為平面內的最大距離問題解決，以O為原點，OA為y軸，OC為x軸建立直角坐標系，B、O兩點間的距離表示處理，結合三角函數的性質求出其最大值即可．

解答 解：將原問題轉化為平面內的最大距離問題解決，
以O為原點，OA為y軸，OC為x軸建立直角坐標系，如圖．
設∠ACO=θ，B（x，y），則有：
x=ACcosθ+BCsinθ=2cosθ+sinθ，y=BCcosθ=cosθ．
∴x²+y²=4cos²θ+4sinθcosθ+1=2cos2θ+2sin2θ+3
=2$\sqrt{2}$sin（2θ+$\frac{π}{4}$）+3，
當sin（2θ+$\frac{π}{4}$）=1時，x²+y²最大，為2$\sqrt{2}$+3，
則B、O兩點間的最大距離為1+$\sqrt{2}$．
故答案為1+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了點、線、面間的距離計算，解答關鍵是將空間幾何問題轉化為平面幾何問題解決，利用三角函數的知識求最大值．