Question

1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線1：θ=$\frac{π}{3}$（ρ≥0）與曲線C：ρ=2sinθ交于點A（異于點O）．
（I）求點A的極坐標(biāo)；
（II）直線1′：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t}\\{y=-t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）與曲線C交于點B（異于點O），求△OAB的面積．

Answer 1

分析 （I）把射線1：θ=$\frac{π}{3}$（ρ≥0）代入曲線C：ρ=2sinθ，可得ρ，即可得出A的坐標(biāo)．
（II）曲線C：ρ=2sinθ，即ρ²=2ρsinθ，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．直線1′：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t}\\{y=-t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）可得普通方程：x=-$\sqrt{3}$y．代入圓的方程解得B坐標(biāo)，可得|OB|，∠AOB=$\frac{π}{2}$．可得△OAB的面積S=$\frac{1}{2}$|OA|•|OB|．

解答 解：（I）把射線1：θ=$\frac{π}{3}$（ρ≥0）代入曲線C：ρ=2sinθ，可得ρ=2sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，可得A$（\sqrt{3}，\frac{π}{3}）$．
（II）曲線C：ρ=2sinθ，即ρ²=2ρsinθ，可得x²+y²=2y．
直線1′：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t}\\{y=-t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）可得普通方程：x=-$\sqrt{3}$y．
代入圓的方程可得：2y²-y=0，y≠0，解得y=$\frac{1}{2}$，x=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴|OB|=$\sqrt{（-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=1，∠AOB=$\frac{π}{2}$．
△OAB的面積S=$\frac{1}{2}$|OA|•|OB|=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線的參數(shù)方程及其應(yīng)用、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．