Question

16．雙曲線的兩條漸近線的方程為$y=±\sqrt{2}x$，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)$（{3，-2\sqrt{3}}）$
（1）求雙曲線的方程；
（2）雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，P為雙曲線上一點(diǎn)，∠F₁PF₂為60°，求${S_{△P{F_1}{F_2}}}$．

Answer 1

分析 （1）可設(shè)雙曲線的方程為2x²-y²=λ（λ≠0），代入點(diǎn)$（{3，-2\sqrt{3}}）$，解方程可得λ，即可得到雙曲線的方程；
（2）求出雙曲線的a，b，c，設(shè)|F₁P|=m，|PF₂|=n，運(yùn)用雙曲線的定義和余弦定理，以及面積公式，計(jì)算即可得到所求．

解答 解：（1）雙曲線的兩條漸近線的方程為$y=±\sqrt{2}x$，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)$（{3，-2\sqrt{3}}）$，
可設(shè)雙曲線的方程為2x²-y²=λ（λ≠0），
可得2×9-12=λ，即λ=6，
即有雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1；
（2）雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，設(shè)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，∠F₁PF₂為60°，
雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1的a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{6}$，c=3，
設(shè)|F₁P|=m，|PF₂|=n，則m-n=2$\sqrt{3}$①
在△F₁PF₂中，36=m²+n²-2mncos60°=m²+n²-mn②，
②-①²：mn=24，
∴△F₁PF₂的面積S=$\frac{1}{2}$mnsin60°=$\frac{1}{2}$×24×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運(yùn)用待定系數(shù)法，以及漸近線方程和雙曲線的方程的關(guān)系，考查三角形的面積的求法，注意運(yùn)用余弦定理和三角形的面積公式，結(jié)合雙曲線的定義，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．