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2.如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知R(x0,y0)是橢圓C:$\frac{x^2}{24}+\frac{y^2}{12}$=1上的一點,從原點O向圓R:(x-x02+(y-y02=8作兩條切線,分別交橢圓于P,Q兩點.
(1)若R點在第一象限,且直線OP、OQ互相垂直,求圓R的方程;
(2)若直線OP,OQ的斜率存在,并記為k1,k2,求k1k2的值.

分析 (1)利用已知條件,列出方程求出圓R的圓心坐標,即可求解圓的方程.
(2)直線OP:y=k1x和OQ:y=k2x都與圓R相切,推出k1,k2是方程$({x_0^2-8}){k^2}-2{x_0}{y_0}k+y_0^2-8=0$的兩個不相等的實數根,由韋達定理得,${k_1}•{k_2}=\frac{y_0^2-8}{x_0^2-8}$,通過點R(x0,y0)在橢圓C上,代入化簡求解即可.

解答 解:(1)由圓R的方程知圓R的半徑$r=2\sqrt{2}$,因為直線OP,OQ互相垂直,且和圓R相切,
所以$|{OR}|=\sqrt{2}r=4$,即$x_0^2+y_0^2=16$①
又點R在橢圓C上,所以$\frac{x_0^2}{24}+\frac{y_0^2}{12}=1$②
聯立①②,解得$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=2\sqrt{2}\\{y_0}=2\sqrt{2}\end{array}\right.$,
所以所求圓R的方程為:${({x-2\sqrt{2}})^2}+{({y-2\sqrt{2}})^2}=8$.
(2)因為直線OP:y=k1x和OQ:y=k2x都與圓R相切,
所以$\frac{{|{{k_1}{x_0}-{y_0}}|}}{{\sqrt{1+k_1^2}}}=2\sqrt{2}$,$\frac{{|{{k_2}{x_0}-{y_0}}|}}{{\sqrt{1+k_2^2}}}=2\sqrt{2}$,
化簡得$({x_0^2+8})k_1^2-2{x_0}{y_0}{k_1}+y_0^2-8=0$,$({x_0^2+8})k_2^2-2{x_0}{y_0}{k_1}+y_0^2-8=0$,
所以k1,k2是方程$({x_0^2-8}){k^2}-2{x_0}{y_0}k+y_0^2-8=0$的兩個不相等的實數根,由韋達定理得,${k_1}•{k_2}=\frac{y_0^2-8}{x_0^2-8}$,
因為點R(x0,y0)在橢圓C上,所以$\frac{x_0^2}{24}+\frac{y_0^2}{12}=1$,
即$y_0^2=12-\frac{1}{2}x_0^2$,
所以${k_1}{k_2}=\frac{{4-\frac{1}{2}x_0^2}}{x_0^2-8}=-\frac{1}{2}$.

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系的應用,圓與橢圓的位置關系的應用,考查轉化思想以及計算能力.

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