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7.設P是曲線y=x-$\frac{1}{2}$x2-lnx上的一個動點,記此曲線在點P點處的切線的傾斜角為θ,則θ的取值范圍是( 。
A.($\frac{π}{2}$,$\frac{3π}{4}$]B.[$\frac{π}{4}$,$\frac{3π}{4}$]C.[$\frac{3π}{4}$,π)D.[0,$\frac{π}{2}$)∪[$\frac{3π}{4}$,π)

分析 求出原函數的導函數,利用基本不等式求出導函數的值域,結合直線的斜率是直線傾斜角的正切值求解.

解答 解:由y=x-$\frac{1}{2}$x2-lnx,得y′=1-x-$\frac{1}{x}$(x>0),
∵1-x-$\frac{1}{x}$=1-(x+$\frac{1}{x}$)$≤1-2\sqrt{x•\frac{1}{x}}=-1$,
當且僅當x=1時上式“=”成立.
∴y′≤-1,即曲線在點P點處的切線的斜率小于等于-1.
則tanθ≤-1,
又θ∈[0,π),
∴θ∈($\frac{π}{2},\frac{3π}{4}$].
故選:A.

點評 本題考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程,過曲線上某點處的切線的斜率,就是函數在該點處的導數值,是中檔題.

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