Question

7．設P是曲線y=x-$\frac{1}{2}$x²-lnx上的一個動點，記此曲線在點P點處的切線的傾斜角為θ，則θ的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$]
• B． [$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]
• C． [$\frac{3π}{4}$，π）
• D． [0，$\frac{π}{2}$）∪[$\frac{3π}{4}$，π）

Answer 1

分析 求出原函數的導函數，利用基本不等式求出導函數的值域，結合直線的斜率是直線傾斜角的正切值求解．

解答 解：由y=x-$\frac{1}{2}$x²-lnx，得y′=1-x-$\frac{1}{x}$（x＞0），
∵1-x-$\frac{1}{x}$=1-（x+$\frac{1}{x}$）$≤1-2\sqrt{x•\frac{1}{x}}=-1$，
當且僅當x=1時上式“=”成立．
∴y′≤-1，即曲線在點P點處的切線的斜率小于等于-1．
則tanθ≤-1，
又θ∈[0，π），
∴θ∈（$\frac{π}{2}，\frac{3π}{4}$]．
故選：A．

點評 本題考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，過曲線上某點處的切線的斜率，就是函數在該點處的導數值，是中檔題．