Question

19．在數(shù)列{a_n}（n∈N^*）中，其前n項(xiàng)和為S_n，滿足$2{S_n}={n^2}-n$．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)${b_n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{{\sqrt{{a_{n+1}}}+\sqrt{{a_{n+3}}}}}，n=2k-1\\ \frac{n+1}{{a_{n+1}^2•a_{n+3}^2}}，n=2k\end{array}\right.$（k為正整數(shù)），求數(shù)列{b_n}的前2n項(xiàng)和T_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題設(shè)得：$2{S_n}={n^2}-n$，所以$2{S_{n-1}}={（{n-1}）^2}-n-1$（n≥2），可得a_n=S_n-S_n-1（n≥2）．當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=0，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（II）利用裂項(xiàng)求和方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由題設(shè)得：$2{S_n}={n^2}-n$，所以$2{S_{n-1}}={（{n-1}）^2}-n-1$（n≥2）
所以a_n=S_n-S_n-1=n-1（n≥2）
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=0，數(shù)列{a_n}是a₁=0為首項(xiàng)、公差為1的等差數(shù)列
故a_n=n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：${b_n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{{\sqrt{{a_{n+1}}}+\sqrt{{a_{n+3}}}}}，n=2k-1\\ \frac{n+1}{{a_{n+1}^2•a_{n+3}^2}}，n=2k\end{array}\right.$
=$\left\{\begin{array}{l}\frac{{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}}{2}，n=2k-1\\ \frac{1}{4}（{\frac{1}{n^2}-\frac{1}{{{{（{n+2}）}^2}}}}），n=2k\end{array}\right.$．
T_2n=b₁+b₂+b₃+…+b_2n=$\frac{1}{2}（{\sqrt{3}-1+\sqrt{5}}\right.$$-\sqrt{3}+\sqrt{7}-\sqrt{5}…$$\left.{+\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}）$$+\frac{1}{4}[{（{\frac{1}{2^2}-\frac{1}{4^2}}）+（{\frac{1}{4^2}-\frac{1}{6^2}}）}\right.$$+（{\frac{1}{6^2}-\frac{1}{8^2}}）+…$$\left.{+（{\frac{1}{n^2}-\frac{1}{{{{（{n+2}）}^2}}}}）}]$
=$\frac{{\sqrt{n+2}-1}}{2}+\frac{1}{16}$$-\frac{1}{{4{{（{n+2}）}^2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、裂項(xiàng)求和方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．