Question

15．已知點P（x，y）為曲線$\frac{x^2}{16}$+$\frac{y^2}{12}$=1（y≥0）上的任意一點，求x+2y-12的取值范圍．

Answer 1

分析 由橢圓的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=2\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，可設$P（4cosθ，2\sqrt{3}sinθ）$，t=x+2y-12，運用兩角和的正弦公式，結合y≥0，可得θ∈[0，π]，運用正弦函數的圖象和性質，即可得到所求范圍．

解答 解：由橢圓$\frac{x^2}{16}$+$\frac{y^2}{12}$=1，
可得橢圓的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=2\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，
可設$P（4cosθ，2\sqrt{3}sinθ）$，t=x+2y-12，
則$t=4cosθ+4\sqrt{3}sinθ-12=8（\frac{1}{2}cosθ+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ）-12=8sin（θ+\frac{π}{6}）-12$，
由y≥0，可得θ∈[0，π]，
即有θ+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
則sin（θ+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
可得t∈[-16，-4]，
故x+2y-12的取值范圍[-16，-4]．

點評 本題考查橢圓的參數方程的運用，考查輔助角公式和正弦函數的圖象和性質的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．