Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（-2，3）、B（1，2）、C（-3，2）．
（Ⅰ）求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)；
（Ⅱ）當(dāng)t為何值時(shí)，$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{OC}$與$\overrightarrow{OC}$垂直；
（Ⅲ）當(dāng)t為何值時(shí)，t$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$與2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$平行．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則求出$\overrightarrow{AB}$=（3，-1），$\overrightarrow{AC}$=（-1，-1），從而$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$=（2，-2），$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$=（4，0），由此能求出以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)．
（Ⅱ）由平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則求出$\overrightarrow{OC}$=（-3，2），$\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{OC}$=（3+3t，-1-2t），再由$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{OC}$與$\overrightarrow{OC}$垂直，能求出t的值．
（Ⅲ）利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則求出t$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（1-2t，2+3t），2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$=（-5，4），再由t$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$與2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$平行，能求出t的值．

解答 解：（Ⅰ）∵A（-2，3）、B（1，2）、C（-3，2），
∴由題設(shè)知$\overrightarrow{AB}$=（3，-1），$\overrightarrow{AC}$=（-1，-1），
∴$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$=（2，-2），$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$=（4，0），
∴|$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$|=2$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$|=4，
∴以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為2$\sqrt{2}$，4．
（Ⅱ）∵O（0，0），∴$\overrightarrow{OC}$=（-3，2），
$\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{OC}$=（3+3t，-1-2t），
∵$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{OC}$與$\overrightarrow{OC}$垂直，
∴（$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{OC}$）•$\overrightarrow{OC}$=-3（3+3t）+2（-1-2t）=0，
解得t=-$\frac{11}{13}$．
（Ⅲ）∵t$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（1-2t，2+3t），2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$=（-5，4），
t$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$與2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$平行，
∴4（1-2t）+5（2+3t）=0，
解得t=-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形的對(duì)角線的長(zhǎng)的求法，考查實(shí)數(shù)值的求法，考查平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則、向量垂直、向量平行等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．