Question

1．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=ax²-bx（a，b為常數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當a=$\frac{1}{2}$時，設h（x）=f（x）+g（x），若函數(shù)h（x）在定義域上存在單調(diào)減區(qū)間，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導數(shù)，可得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線的方程；
（2）求出h（x）的導數(shù)，可得存在x＞0使h′（x）=$\frac{{x}^{2}-bx+1}{x}$＜0，即存在x＞0使x²-bx+1＜0，運用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)，求出導數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最小值，進而得到b的范圍．

解答 解：（1）由f（x）=lnx（x＞0），可得f′（x）=$\frac{1}{x}$（x＞0），
所以f′（1）=1，
又因為f（1）=ln1=0，
∴f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是y-0=x-1，即y=x-1，
所求切線方程為x-y-1=0；
（2）∵h（x）=f（x）+g（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²-bx，h′（x）=$\frac{{x}^{2}-bx+1}{x}$（x＞0）．
依題存在x＞0使h′（x）=$\frac{{x}^{2}-bx+1}{x}$＜0，∴即存在x＞0使x²-bx+1＜0，
∵不等式x²-bx+1＜0等價為b＞x+$\frac{1}{x}$       （*），
令λ（x）=x+$\frac{1}{x}$（x＞0）
∵λ′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-1）（x+1）}{{x}^{2}}$（x＞0）．
∴λ（x）在（0，1）上遞減，在[1，+∞）上遞增，
故λ（x）=x+$\frac{1}{x}$∈[2，+∞），
∵存在x＞0，不等式（*）成立，
∴b＞2．所求b∈（2，+∞）．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間，考查導數(shù)的幾何意義，以及不等式存在性問題的解法，注意運用參數(shù)分離和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．