Question

【題目】如圖1，在中， ， ， ， 為邊的中點(diǎn)，現(xiàn)把沿折疊，使其與構(gòu)成如圖2所示的三棱錐，且.

（1）求證：平面平面；

（2）求平面與平面夾角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)

【解析】試題分析：（1）在圖1中，取CP的中點(diǎn)O，連接AO交CB于E，得AO⊥CP，在△OCB中，有AO⊥OB，即AO⊥平面PCB，

可證平面ACP⊥平面CPB．

（2）因?yàn)?/span>AO⊥平面CPB，且OC⊥OE，故可如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則， ，求出平面的法向量，利用向量夾角公式即可求解．

試題解析：

（1）如圖1，取得中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

在中，因?yàn)?/span>， ， ， 為邊的中點(diǎn)，

所以是正三角形，所以，且, , .

由折疊過(guò)程可知，在圖2中， ， ，如圖2，連接，

在中，由余弦定理得，

所以，所以.又因?yàn)?/span>， ，

所以，又因?yàn)?/span>，所以平面平面.

（2）因?yàn)?/span>平面，且，所以可建立如圖二所示的空間直角坐標(biāo)系.則， ， ， ， ， ， .

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則

由得.

同理可求得平面的一個(gè)法向量為.

設(shè)所求角為，則所求角的余弦值.