Question

下列函數(shù)一定可以寫(xiě)成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和的是

①③④

①f（x）=2^x ②f(x)=

1

1-x

   ③y=

(x-1)2

   ④y=log2(2x2+1)
（將所有正確選項(xiàng)的符號(hào)寫(xiě)在橫線(xiàn)上）

Answer 1

分析：先證明定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的任意函數(shù)都能分解為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和，然后看哪些函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)即可．

解答：解：對(duì)任意函數(shù)f（x），其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，令h（x）=

f(x)+f(-x)

2

，g（x）=

f(x)-f(-x)

2

，則f（x）=h（x）+g（x）．
因?yàn)閔（-x）=

f(-x)+f(x)

2

=h（x），所以h（x）為偶函數(shù)；因?yàn)間（-x）=

f(-x)-f(x)

2

=-

f(x)-f(-x)

2

=-g（x），所以g（x）為奇函數(shù)．
即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的任意函數(shù)f（x）可分解為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和．
②中函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠1}不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故不符合要求．①③④中的函數(shù)定義域均為R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的任意函數(shù)均能分解為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和．