Question

下列函數(shù)一定可以寫成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和的是   
①f（x）=2^x ②   ③   ④
（將所有正確選項(xiàng)的符號寫在橫線上）

Answer 1

【答案】分析：先證明定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的任意函數(shù)都能分解為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和，然后看哪些函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱即可．
解答：解：對任意函數(shù)f（x），其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，令h（x）=，g（x）=，則f（x）=h（x）+g（x）．
因?yàn)閔（-x）==h（x），所以h（x）為偶函數(shù)；因?yàn)間（-x）==-=-g（x），所以g（x）為奇函數(shù)．
即定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的任意函數(shù)f（x）可分解為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和．
②中函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠1}不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故不符合要求．①③④中的函數(shù)定義域均為R，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
故答案為：①③④．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的任意函數(shù)均能分解為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和．