Question

20．?dāng)?shù)列{a_n}是以a₁=1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，若數(shù)列{$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$}的前n項(xiàng)和為T_n，則滿足T_n＞$\frac{100}{209}$的最小正整數(shù)n為（　　）

• A． 9
• B． 10
• C． 11
• D． 12

Answer 1

分析 運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和，即數(shù)列$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），求和，解不等式即可確定最小的正整數(shù)n．

解答 解：數(shù)列{a_n}是以a₁=1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
則a_n=a₁+（n-1）d=2n-1；
∴$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$，
∵T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＞$\frac{100}{209}$，
∴即為2n+1＞$\frac{209}{9}$，即n＞$\frac{100}{9}$，
滿足T_n＞$\frac{100}{209}$的最小正整數(shù)n為12．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列求和的方法：裂項(xiàng)相消求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．