Question

12．定義R上的減函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)f'（x）滿足$\frac{f（x）}{f'（x）}＜1-x$，則下列結(jié)論正確的是（　　）

• A． 當(dāng)且僅當(dāng)x∈（-∞，1），f（x）＜0
• B． 當(dāng)且僅當(dāng)x∈（1，+∞），f（x）＞0
• C． 對于?x∈R，f（x）＜0
• D． 對于?x∈R，f（x）＞0

Answer 1

分析 f（x）是定義在R上的減函數(shù)，f′（x）＜0，（f′（x）≠0）．則$\frac{f（x）}{f'（x）}＜1-x$，化為f（x）+f′（x）x＞f′（x），可得[（x-1）f（x）]′＞0，因此函數(shù)y=（x-1）f（x）在R上單調(diào)遞增，對x分類討論即可得出．

解答 解：∵f（x）是定義在R上的減函數(shù)，f′（x）＜0，（f′（x）≠0）．
∴$\frac{f（x）}{f'（x）}＜1-x$，化為f（x）+f′（x）x＞f′（x），
∴f（x）+f′（x）（x-1）＞0，
∴[（x-1）f（x）]′＞0，
∴函數(shù)y=（x-1）f（x）在R上單調(diào)遞增，
而x=1時，y=0，則x＜1時，y＜0，
當(dāng)x∈（1，+∞）時，x-1＞0，故f（x）＞0，
又f（x）是定義在R上的減函數(shù)，
∴x≤1時，f（x）＞0也成立，
∴f（x）＞0對任意x∈R成立．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)與解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．