【題目】如圖，定義：以橢圓中心為圓心，長(zhǎng)軸為直徑的圓叫做橢圓的“輔圓”.過橢圓第一象限內(nèi)一點(diǎn)P作x軸的垂線交其“輔圓”于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P的上方時(shí)，稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“上輔點(diǎn)”.已知橢圓上的點(diǎn)的上輔點(diǎn)為.

（1）求橢圓E的方程；

（2）若的面積等于，求上輔點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（3）過上輔點(diǎn)Q作輔圓的切線與x軸交于點(diǎn)T，判斷直線PT與橢圓E的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【答案】（1）；（2）；（3）直線PT與橢圓相切，證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)定義直接求解即可；（2）設(shè)點(diǎn)，，則點(diǎn)，，則可得到，再根據(jù)的面積可得到，進(jìn)一步與橢圓方程聯(lián)立即得解；（3）表示出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，再判斷△即可得出結(jié)論．

（1）橢圓上的點(diǎn)的上輔點(diǎn)為，

輔圓的半徑為，橢圓長(zhǎng)半軸為，

將點(diǎn)代入橢圓方程中，解得，

橢圓的方程為；

（2）設(shè)點(diǎn)，，則點(diǎn)，，將兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入輔圓方程和橢圓方程可得，，，

故，即，

又，則，

將與聯(lián)立可解得，則，

點(diǎn)的坐標(biāo)為；

（3）直線與橢圓相切，證明如下：

設(shè)點(diǎn)，，由（2）可知，，

與輔圓相切于點(diǎn)的直線方程為，則點(diǎn)，

直線的方程為：，整理得，

將與橢圓聯(lián)立并整理可得，，

由一元二次方程的判別式，可知，上述方程只有一個(gè)解，故直線與橢圓相切．

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（2）求面積的最大值.

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（2）求的取值范圍．

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