Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都是正數(shù)，若a_n²≤a_n-a_n+1對于一切n∈N^*都成立．
（1）證明{a_n}中的任一項(xiàng)都小于1； 
（2）探究a_n與

1

n

的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由

a

2 n

≤an-an+1，可得an+1≤an-

a

2 n

，由于a_n＞0，a_n+1＞0，可得an-

a

2 n

＞0解出即可．
（2）由（1）可知：0＜a_n＜1．得到a2≤a1-

a

2 1

＜

1

2

．猜想：an＜

1

n

(n≥2)．用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答： 解：（1）由

a

2 n

≤an-an+1，
得an+1≤an-

a

2 n

，
∵a_n＞0，a_n+1＞0，
∴an-

a

2 n

＞0
解得0＜a_n＜1．
故{a_n}中的任一項(xiàng)都小于1．
（2）由（1）可知：0＜a_n＜1．
得到a2≤a1-

a

2 1

=-(a1-

1

2

)2+

1

4

≤

1

4

＜

1

2

．
猜想：an＜

1

n

(n≥2)．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（i）當(dāng)n=2時，成立．
（ii）假設(shè)當(dāng)n=k≥2時成立，即ak＜

1

k

≤

1

2

．
那么當(dāng)n=k+1時，
ak+1≤ak-

a

2 k

=-(ak-

1

2

)2+

1

4

＜-(

1

k

-

1

2

)2+

1

4

=

1

k

-

1

k2

=

k-1

k2

＜

k-1

k2-1

=

1

k+1

．
∴當(dāng)n=k=1時，猜想成立．
綜上（i）（ii）可知：an＜

1

n

對于?n∈N^*都成立．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)學(xué)歸納法、猜想與歸納的能力、不等式的性質(zhì)、配方法、二次函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．