Question

12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)C（0，p）作直線l與拋物線x²=2py（p＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，N點(diǎn)是C點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)P（2，m）是拋物線上一點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，|PF|=2．
（1）求拋物線的方程；
（2）求證：∠ANC=∠BNC．

Answer 1

分析 （1）由題意，m+$\frac{p}{2}$=2，4=2pm，求出p，即可求出拋物線的方程；
（2）直線方程為y=kx+2，代入拋物線方程得x²-4kx-8=0，利用韋達(dá)定理證明k_AN+k_BN=0，即可證明結(jié)論．

解答 （1）解：由題意，m+$\frac{p}{2}$=2，4=2pm，
∴p=2，
∴拋物線的方程為x²=4y；
（2）證明：設(shè)直線方程為y=kx+2，代入拋物線方程得x²-4kx-8=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-8，
∴k_AN+k_BN=$\frac{{y}_{1}+2}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}+2}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}+2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2k+$\frac{4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=0，
∴∠ANC=∠BNC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．