Question

3．對于數(shù)列{a_n}，定義數(shù)列{a_n+1-a_n}為數(shù)列{a_n}的“差數(shù)列”，若a₁=2，{a_n}的“差數(shù)列”的通項公式為2ⁿ，則數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=（　�。�

• A． 2ⁿ
• B． 2ⁿ+1
• C． 2ⁿ⁺¹-1
• D． 2ⁿ⁺¹-2

Answer 1

分析 由差數(shù)列的通項得a_n+1-a_n=2ⁿ，使用累加法求出a_n，可得{a_n}為等比數(shù)列，從而得出S_n．

解答 解：由題意得a_n+1-a_n=2ⁿ，
∴a_n-a_n-1=2^n-1，
a_n-1-a_n-2=2^n-2，
a_n-2-a_n-3=2^n-3，
…
a₂-a₁=2，
將以上各式相加得：a_n-a₁=2^n-1+2^n-2+2^n-3+…+2=$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$=2ⁿ-2，
∴a_n=2ⁿ，
S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2．
故選D．

點評 本題考查了數(shù)列通項公式的求法，求和公式的應(yīng)用，屬于中檔題．