Question

18．（實(shí)驗(yàn)班做）四面體的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10個點(diǎn)，在其中取4個點(diǎn)，則這四個點(diǎn)不共面的概率為（　�。�

• A． $\frac{5}{7}$
• B． $\frac{7}{10}$
• C． $\frac{47}{70}$
• D． $\frac{24}{35}$

Answer 1

分析 從10個不同的點(diǎn)中任取4個點(diǎn)的不同取法共有${C}_{10}^{4}$種，它可分為兩類：4點(diǎn)共面與不共面．求出取出4個不共面的點(diǎn)的不同取法的種數(shù)，由此能求出這四個點(diǎn)不共面的概率．

解答 解：從10個不同的點(diǎn)中任取4個點(diǎn)的不同取法共有${C}_{10}^{4}$=210種，
它可分為兩類：4點(diǎn)共面與不共面．
如，4點(diǎn)共面的情形有三種：
①取出的4點(diǎn)在四面體的一個面內(nèi)（如圖中的AHGC在面ACD內(nèi)），
這樣的取法有$4{C}_{6}^{4}$種；
②取出的4面所在的平面與四面體的一組對棱平行（如圖中的EFGH與AC、BD平行），
這種取法有3種（因?yàn)閷�棱�?組，即AC與BD、BC與AD、AB與CD）；
③取出的4點(diǎn)是一條棱上的三點(diǎn)及對棱中點(diǎn)（如圖中的AEBG），這樣的取法共6種．
綜上所述，取出4個不共面的點(diǎn)的不同取法的種數(shù)為${C}_{10}^{4}$-（4${C}_{6}^{4}$+3+6）=141種．
故這四個點(diǎn)不共面的概率為p=$\frac{141}{210}$=$\frac{47}{70}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意分類討論思想、等可能事件概率計算公式的合理運(yùn)用．