Question

6．如果曲線y=x⁴-x在點(diǎn)P處的切線垂直于直線y=-$\frac{1}{3}$x，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為（　�。�

• A． （1，0）
• B． （0，-1）
• C． （0，1）
• D． （-1，0）

Answer 1

分析 先根據(jù)題意求出切線的斜率k，再求出函數(shù)y=x⁴-x的導(dǎo)數(shù)，設(shè)P（x₀，y₀），利用導(dǎo)數(shù)和斜率k求出x₀，將求出的x₀代入y=x⁴-x，求出y₀．

解答 解：∵曲線y=x⁴-x在點(diǎn)P處的切線垂直于直線y=-$\frac{1}{3}$x，
直線y=-$\frac{1}{3}$x的斜率為-$\frac{1}{3}$，
∴曲線y=x⁴-x在點(diǎn)P處的切線的斜率k=3，
∵函數(shù)y=x⁴-x的導(dǎo)數(shù)為y′=4x³-1，
設(shè)P（x₀，y₀），
∴4${{x}_{0}}^{3}$-1=3，解得x₀=1，
∴y₀=x₀⁴-x₀=0，
∴P（1，0）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時(shí)考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．