Question

在數(shù)列{a_n}中，若a₁，a₂是正整數(shù)，且a_n=|a_n-1-a_n-2|，n=3，4，5，…，則稱{a_n}為“絕對(duì)差數(shù)列”．
（Ⅰ）舉出一個(gè)前五項(xiàng)不為零的“絕對(duì)差數(shù)列”（只要求寫出前十項(xiàng)）；
（Ⅱ）若“絕對(duì)差數(shù)列”{a_n}中，a₂₀=3，a₂₁=0，數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n+a_n+1+a_n+2，n=1，2，3，…，分別判斷當(dāng)n→∞時(shí)，a_n與b_n的極限是否存在，如果存在，求出其極限值；
（Ⅲ）證明：任何“絕對(duì)差數(shù)列”中總含有無(wú)窮多個(gè)為零的項(xiàng)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)a₁，a₂是正整數(shù)，且a_n=|a_n-1-a_n-2|，n=3，4，5，…，能夠舉出一個(gè)前五項(xiàng)不為零的“絕對(duì)差數(shù)列”．
（Ⅱ）由絕對(duì)差數(shù)列{a_n}中a₂₀=3，a₂₁=0，利用a_n=|a_n-1-a_n-2|，知該數(shù)列自第20項(xiàng)開(kāi)始．每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值3，0，3．所以

lim

n→∞

a_n不存在．

lim

n→∞

bn=6．
（Ⅲ）根據(jù)定義，數(shù)列{a_n}必在有限項(xiàng)后出現(xiàn)零項(xiàng)．再由反證法進(jìn)行證明{a_n}必有零項(xiàng)．若第一次出現(xiàn)的零項(xiàng)為第n項(xiàng)，記a_n-1=A（A≠0），則自第n項(xiàng)開(kāi)始，每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值0，A，A，由此知絕對(duì)差數(shù)列{a_n}中有無(wú)窮多個(gè)為零的項(xiàng)．

解答：解：（Ⅰ）a₁=3，a₂=1，a₃=2，a₄=1，a₅=1，a₆=0，a₇=1，a₈=1，a₉=0，a₁₀=1．（答案不惟一）
（Ⅱ）因?yàn)樵诮^對(duì)差數(shù)列{a_n}中a₂₀=3，a₂₁=0．所以自第20項(xiàng)開(kāi)始，該數(shù)列是a₂₀=3，a₂₁=0，a₂₂=3，a₂₂=3，a₂₄=0，a₂₅=3，a₂₆=3，a₂₇=o，
即自第20項(xiàng)開(kāi)始．每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值3，0，3．所以當(dāng)n→∞時(shí)，a_n的極限不存在．
當(dāng)n≥20時(shí)，b_n=a_n+a_n+1+a_n+2=6，
所以

lim

n→∞

bn=6
（Ⅲ）證明：根據(jù)定義，數(shù)列{a_n}必在有限項(xiàng)后出現(xiàn)零項(xiàng)．證明如下：
假設(shè){a_n}中沒(méi)有零項(xiàng)，由于a_n=|a_n-1-a_n-2|，
所以對(duì)于任意的n，都有a_n≥1，從而
當(dāng)a_n-1＞a_n-2時(shí)，a_n=a_n-1-a_n-2≤a_n-1-1（n≥3）；
當(dāng)a_n-1＜a_n-2時(shí)，a_n=a_n-2-a_n-1≤a_n-2-1（n≥3）
即a_n的值要么比a_n-1至少小1，要么比a_n-2至少小1．
令Cn=

a2n-1(a2n-1＞a2n) a2n(a2n-1＜a2n)

n=1，2，3，，
則0＜C_A≤C_n-1-1（n=2，3，4，）．
由于C₁是確定的正整數(shù)，這樣減少下去，必然存在某項(xiàng)C₁＜0，這與C_n＞0（n=1，2，3，，）
矛盾．
從而{a_n}必有零項(xiàng)．
若第一次出現(xiàn)的零項(xiàng)為第n項(xiàng)，記a_n-1=A（A≠0），
則自第n項(xiàng)開(kāi)始，每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值0，A，A，
即

an+3k=0 an+3k+1=A，k=0，1，2，3 an+3k+2=A

所以絕對(duì)差數(shù)列{a_n}中有無(wú)窮多個(gè)為零的項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的極限和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．