Question

設函數

（1）若時，函數有三個互不相同的零點，求的取值范圍；

（2）若函數在內沒有極值點，求的取值范圍；

（3）若對任意的，不等式在上恒成立，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）時，，有三個互不相同的零點，即有三個互不相同的實數根，構造函數確定函數的單調性，求函數的極值，從而確定的取值范圍；

（2）要使函數在內沒有極值點，只需在上沒有實根即可，即的兩根或不在區(qū)間上；

（3）求導函數來確定極值點，利用的取值范圍，求出在上的最大值，再求滿足時的取值范圍．

（1）當時，.

因為有三個互不相同的零點，所以，即有三個互不相同的實數根.

令，則.

令，解得；令，解得或.

所以在和上為減函數，在上為增函數.

所以，.

所以的取值范圍是.

（2）因為，所以.

因為在內沒有極值點，所以方程在區(qū)間上沒有實數根，

由，二次函數對稱軸，

當時，即，解得或，

所以，或（不合題意，舍去），解得.

所以的取值范圍是；

（3）因為，所以或，且時，，.

又因為，所以在上小于0，是減函數；

在上大于0，是增函數；

所以，而，

所以，

又因為在上恒成立，所以，即，即，在上恒成立.

因為在上是減函數，最小值為-87.

所以，即的取值范圍是.

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值；利用導數研究函數的極值．