Question

【題目】已知若干個長方體盒子，其棱長均為不大于正奇數(shù)的正整數(shù)（允許三棱長相同），且盒壁厚度忽略不計，每個盒子的三組對面分別染為紅、藍、黃三色，若沒有一個盒子能以同色面平行的方式裝入另一個盒子中，則稱這些盒子是“和諧的”，求最多有多少個和諧盒子？

Answer 1

【答案】

【解析】

設(shè)和諧盒子最多有個，在空間直角坐標系中，坐標面，，分別染為紅、藍、黃三色，將上述盒子放入坐標系中，使其共頂點的三面分別放入同色的坐標面中，則每個盒子與一個整數(shù)有序數(shù)組一一對應(yīng)，其中，、、、，、、.從而，和諧盒子集合對應(yīng)一個空間直角坐標系中的點集，，滿足對于任意中的兩點，，有， ①其中，.

設(shè)，其中，，令，.顯然，中任意兩點至多有一個分量相同，即，且對任意，，有. ②

將中各元按分量的大小排序，記為，其中，.由式①知.故，如圖，在坐標平面內(nèi)記，，其中，，，，.從而，式②等價于. ③

對于，若，則將所有中的點并入中，將新集合記為，則仍滿足式③，對繼續(xù)上述調(diào)整，直至，此時，仍記為，將各點依次連成一條折線，則所有組成中互不相交條折線，故 ，當，即時，上式等號成立.

綜上，和諧盒子至多有個.