Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，討論極值點(diǎn)的個數(shù)；

（2）若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）極大值點(diǎn)，且是唯一極值點(diǎn)；（2）

【解析】

（1）將代入，求導(dǎo)得到在上單調(diào)遞減，則在上存在唯一零點(diǎn)，進(jìn)而可判斷出是的極大值點(diǎn)，且是唯一極值點(diǎn)；
（2）令，得到，則與的圖象在上有2個交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可得到的取值范圍.

解：（1）由知.

當(dāng)時，，，顯然在上單調(diào)遞減.

又，，

∴在上存在零點(diǎn)，且是唯一零點(diǎn)，

當(dāng)時，；

當(dāng)時，，

∴是的極大值點(diǎn)，且是唯一極值點(diǎn).

（2）令，則.

令，，

則和的圖象在上有兩個交點(diǎn)，

.

令，則，

所以在上單調(diào)遞減，而，

故當(dāng)時，，即，單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，即，單調(diào)遞減.

故.

又，當(dāng)且時，且，

結(jié)合圖象，可知若和的圖象在上有兩個交點(diǎn)，只需，

所以的取值范圍為.