Question

9．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)，且c=-3bcosA．
（1）求$\frac{{{a^2}-{b^2}}}{c^2}$的值；  
（2）若tanC=$\frac{3}{4}$．試求tanB的值．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理得c=-3b×$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，由此能求出$\frac{{{a^2}-{b^2}}}{c^2}$的值．
（2）由正弦定理，得sinC=-3sinBcosA，從而sinAcosB=-4sinBcosA，進(jìn)而tanA=-4tanB，由tanC=-tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{tanAtanB-1}$=$\frac{3}{4}$，能求出tanB．

解答 解：（1）∵△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)，且c=-3bcosA．
∴c=-3b×$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
整理，得：3（a²-b²）=5c²，
∴$\frac{{{a^2}-{b^2}}}{c^2}$=$\frac{5}{3}$．
（2）∵c=-3bcosA，∴由正弦定理，得sinC=-3sinBcosA，
即sin（A+B）=-3sinBcosA．
∴sinAcosB+cosAsinB=-3sinBcosA．
從而sinAcosB=-4sinBcosA．
∵cosAcosB≠0，∴$\frac{tanA}{tanB}$=-4．∴tanA=-4tanB，
又tanC=-tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{tanAtanB-1}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{3tanB}{4ta{n}^{2}B+1}$=$\frac{3}{4}$，解得tanB=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形邊的代數(shù)式求值，考查三角形的角的正切值的求法，考查余弦定理、正弦定理、同角三角函數(shù)恒等式、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．