Question

7．設(shè)命題p：x＞m是2x-5＞0的必要而不充分條件；設(shè)命題q：實(shí)數(shù)m滿足方程$\frac{{x}^{2}}{m-1}$$+\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1表示雙曲線
（Ⅰ）若“p∧q”為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍
（Ⅱ）若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 求出p，q成立的等價(jià)條件，（Ⅰ）若“p∧q”為真命題，則p真q真，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，則p、q一真一假，當(dāng)p真q假時(shí)，求出m的取值范圍，當(dāng)p假q真時(shí)，求出m的取值范圍，然后取并集即可得答案．

解答 解：由2x-5＞0，得$x＞\frac{5}{2}$．
命題p真時(shí)，則（$\frac{5}{2}$，+∞）?（m，+∞），得m$≤\frac{5}{2}$．
∴命題p假時(shí)，$m＞\frac{5}{2}$．
命題q真時(shí)，得（m-1）（2-m）＜0，解得m＜1或m＞2．
命題q假時(shí)，1≤m≤2．
（Ⅰ）若“p∧q”為真命題，則p真q真，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≤\frac{5}{2}}\\{m＜1或m＞2}\end{array}\right.$，解得m＜1或$2＜m≤\frac{5}{2}$．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為：（-∞，1）∪（2，$\frac{5}{2}$]；
（Ⅱ）若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，則p、q一真一假，
當(dāng)p真q假時(shí)，則$\left\{\begin{array}{l}{m≤\frac{5}{2}}\\{1≤m≤2}\end{array}\right.$，解得1≤m≤2．
當(dāng)p假q真時(shí)，則$\left\{\begin{array}{l}{m＞\frac{5}{2}}\\{m＜1或m＞2}\end{array}\right.$，解得$m＞\frac{5}{2}$．
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為：[1，2]∪（$\frac{5}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，利用雙曲線方程的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．