2.如圖,在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,且BC=2AB═4,∠ABC=60°,點E是PD的中點.
(1)求證:AC⊥PB;
(2)當二面角E-AC-D的大小為45°時,求AP的長.

分析 (1)推導出AC⊥PA,AB⊥AC,從而AC⊥平面PAB,由此能證明AC⊥PB.
(2)以A為原點,AC為x軸,AB為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出AP.

解答 證明:(1)∵在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,
∴AC⊥PA,
∵BC=2AB═4,∠ABC=60°,
∴AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}-2×2×4×cos60°}$=2$\sqrt{3}$,
∴AC2+AB2=BC2,∴AB⊥AC,
∵PA∩AB=A,∴AC⊥平面PAB,
∵PB?平面PAB,∴AC⊥PB.
解:(2)以A為原點,AC為x軸,AB為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標系,
設(shè)AP=t,則P(0,0,t),D(2$\sqrt{3}$,2,0),E($\sqrt{3},1,\frac{t}{2}$),C(2$\sqrt{3}$,0,0),A(0,0,0),
$\overrightarrow{AC}$=(2$\sqrt{3}$,0,0),$\overrightarrow{AE}$=($\sqrt{3},1,\frac{t}{2}$),
設(shè)平面ACE的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\sqrt{3}x+y+\frac{t}{2}z=0}\end{array}\right.$,取z=2,得$\overrightarrow{n}$=(0,-t,2),
平面ACD的法向量$\overrightarrow{m}$=(0,0,1),
∵二面角E-AC-D的大小為45°,
∴cos45°=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{{t}^{2}+4}}$,
解得t=2.∴AP=2.

點評 本題考查線線垂直的證明,考查線段長的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.

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