Question

2．如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且BC=2AB═4，∠ABC=60°，點E是PD的中點．
（1）求證：AC⊥PB；
（2）當二面角E-AC-D的大小為45°時，求AP的長．

Answer 1

分析 （1）推導出AC⊥PA，AB⊥AC，從而AC⊥平面PAB，由此能證明AC⊥PB．
（2）以A為原點，AC為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出AP．

解答 證明：（1）∵在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，
∴AC⊥PA，
∵BC=2AB═4，∠ABC=60°，
∴AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}-2×2×4×cos60°}$=2$\sqrt{3}$，
∴AC²+AB²=BC²，∴AB⊥AC，
∵PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB，
∵PB?平面PAB，∴AC⊥PB．
解：（2）以A為原點，AC為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，
設(shè)AP=t，則P（0，0，t），D（2$\sqrt{3}$，2，0），E（$\sqrt{3}，1，\frac{t}{2}$），C（2$\sqrt{3}$，0，0），A（0，0，0），
$\overrightarrow{AC}$=（2$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{AE}$=（$\sqrt{3}，1，\frac{t}{2}$），
設(shè)平面ACE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\sqrt{3}x+y+\frac{t}{2}z=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{n}$=（0，-t，2），
平面ACD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
∵二面角E-AC-D的大小為45°，
∴cos45°=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{{t}^{2}+4}}$，
解得t=2．∴AP=2．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查線段長的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．