Question

如圖，一個半徑為R的圓上一點A（

3

，1），動點P從點A出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速運動，設(shè)t時刻時，P點坐標為（x（t），y（t）），其中t∈[2，6]時，y（t）單調(diào)遞減，且y（6）=y（10），則0≤t≤10時，數(shù)量積

AP

•

AB

的最大值為（　�。�

• A、4
• B、6
• C、10
• D、12

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：由A的坐標，求得R=2，運用三角函數(shù)的定義可得P的坐標P（2cos（

π

6

+ωt），2sin（

π

6

+ωt）），（θ=ωt），再由條件求出ω，再根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標表示化簡整理，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，計算即可得到最大值．

解答： 解：由于A（

3

，1），則∠AOx=

π

6

，R=2，B（0，2），
設(shè)t時刻時旋轉(zhuǎn)了θ角，則P（2cos（

π

6

+ωt），2sin（

π

6

+ωt）），（θ=ωt），
由于y（6）=y（10），
即2sin（

π

6

+6ω）=2sin（

π

6

+10ω），
即

π

6

+6ω=

π

6

+10ω+2kπ或

π

6

+6ω+

π

6

+10ω=2kπ+π（k∈Z），
ω=-

kπ

2

或ω=

kπ

8

+

π

24

，
由t∈[2，6]時，y（t）單調(diào)遞減，
則k=1時，ω=

π

8

+

π

24

=

π

6

，
則有P（（2cos（

π

6

+

π

6

t），2sin（

π

6

+

π

6

t）），
則

AP

=（2cos（

π

6

+

π

6

t）-

3

，2sin（

π

6

+

π

6

t）-1），

AB

=（-

3

，1），
即有

AP

•

AB

=2-2

3

cos（

π

6

+

π

6

t）+2sin（

π

6

+

π

6

t）
=2+4sin（

π

6

+

π

6

t-

π

3

）=2+4sin（

π

6

t-

π

6

），
當0≤t≤10時，-

π

6

≤

π

6

t-

π

6

≤

3π

2

，
則有-1≤sin（

π

6

t-

π

6

）≤1，
則有-2≤

AP

•

AB

≤6．
則最大值為6．
故選：B．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的定義和性質(zhì)，以及平面向量的數(shù)量積運算，要求熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查學生的運算能力．