Question

如圖，在四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

2

（Ⅰ）求證：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求點E到平面ACD的距離．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（I）欲證AO⊥平面BCD，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證AO與平面BCD內兩相交直線垂直，而CO⊥BD，AO⊥OC，BD∩OC=O，滿足定理；
（II）設點E到平面ACD的距離為h．在△ACD中，CA=CD=2，AD=

2

，故S_△ACD=

1

2

×

2

×

4- 1 2

=

7

2

，由AO=1，知S_△CDE=

1

2

×

3

4

×22=

3

2

，由此能求出點E到平面ACD的距離．

解答： （Ⅰ）證明：連接OC，
∵BO=DO，AB=AD，
∴AO⊥BD．
∵BO=DO，BC=CD，
∴CO⊥BD．
在△AOC中，由已知可得AO=1，CO=

3

．
而AC=2，
∴AO²+CO²=AC²，
∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．
∵BD∩OC=O，
∴AO⊥平面BCD
（Ⅱ）解：設點E到平面ACD的距離為h．
∵V_E-ACD=V_A-CDE，
∴

1

3

h•S△ACD=

1

3

•AO•S△CDE
在△ACD中，CA=CD=2，AD=

2

，
∴S_△ACD=

1

2

×

2

×

4- 1 2

=

7

2

，
∵AO=1，S_△CDE=

1

2

×

3

4

×22=

3

2

，
∴h=

21

7

，
∴點E到平面ACD的距離為

21

7

．

點評：本小題主要考查直線與平面的位置關系以及點到平面的距離基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力．