設函數(shù)f(x)=
a3
x3+bx2+4cx+d的圖象關于原點對稱，f（x）的圖象在點P（1，m）處的切線的斜率為-6，且當x=2時f（x）有極值．
（Ⅰ）求a、b、c、d的值；
（Ⅱ）求f（x）的所有極值．
分析：（I）欲求實數(shù)a、b、c、d的值，利用在x=1處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數(shù)求出在x=1處的導函數(shù)值，再結合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（II）把（1）求出的實數(shù)a、b、c、d的值代入導函數(shù)中確定出解析式，令導函數(shù)等于0求出x的值，根據(jù)x的值分區(qū)間討論導函數(shù)的正負，進而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的極大值和極小值．
解答：解：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）的圖象關于原點對稱，得f（-x）=-f（x）
∴-
a
3
x3+bx2-4cx+d=-
a
3
x3-bx2-4cx-d，∴b=0，d=0．
∴f(x)=
a
3
x3+4cx，∴f'（x）=ax2+4c．
∴
f′(1)=a+4c=-6
f′(2)=4a+4c=0
，即
a+4c=-6
4a+4c=0
．∴a=2，c=-2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=
2
3
x3-8x，∴f'（x）=2x2-8=2（x2-4）．
由f（x）＞0，得x2-4＞0，∴x＞2或x＜-2．
x （-∞，-2） -2 （-2，2） 2 （2，+∞）
f'（x） - 0 + 0 -
f（x） ↘ 極小 ↗ 極大 ↘
∴f(x)極大=f(-2)=
32
3
；f(x)極小=f(2)=-
32
3
．
點評：此題考查學生會利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導函數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性并根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值，是一道中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x，y)=(1+
m
y
)x(m＞0，y＞0)．
（1）當m=3時，求f（6，y）的展開式中二項式系數(shù)最大的項；
（2）若f(4，y)=a0+
a1
y
+
a2
y2
+
a3
y3
+
a4
y4
且a3=32，求
4
i=0
ai．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x)=
2x
x+1
，且a1=
1
2
，  an+1=f(an)，其中n=1，2，3，…．
（I）計算a2，a3的值；
（II）設a2=2，求證：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列；
（III）求證：
1
2
≤an＜1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x)=
2x
x+1
，且a1=
1
2
，  an+1=f(an)，其中n=1，2，3，…．
（I）計算a2，a3，a4的值；
（II）猜想數(shù)列{an}的通項公式，并用數(shù)字歸納法加以證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•自貢一模）設函數(shù)f(x)=x-ln(x+
1+x2
)．
（Ⅰ） 討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若x≥0時，恒有f（x）≤ax3，試求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）令an=
1
9
(
1
2
)6n+ln[(
1
2
)2n+
1+(
1
2
)4n
](n∈N*)，試證明：a1+a2+a3+…+an＜
1
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x)=
x-1
x
log2(x-1)-log2x（x＞1）．
（I）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）若m，t∈R+，且
1
m
+
1
t
=1，求證：tlo
g
 
2
m+mlo
g
 
2
t≤mt；
（Ⅲ）若a1，a2，a3，…，a2n∈R+，且
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+…+
1
a2n
=1，求證：
lo
g
 
2
a1
a1
+
lo
g
 
2
a2
a2
+
lo
g
 
2
a3
a3
+…+
lo
g
 
2
a2n
a2n
≤n．

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