Question

16．已知函數f（x）=sinωx+acosωx（ω＞0）的圖象過點$A（0，\sqrt{3}）$，且$f（x+\frac{π}{2}）=-f（x）$，將其圖象向右平移m（m＞0）個單位長度，所得函數圖象關于y軸對稱，則m的最小值為（　�。�

• A． $\frac{π}{2}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{5π}{12}$

Answer 1

分析 先求出a的值，再化簡函數f（x），根據周期的定義求出ω，根據函數圖象的平移，利用圖象關于y軸對稱，求出m的最小值．

解答 解：∵函數f（x）=sinωx+acosωx（ω＞0）的圖象過點$A（0，\sqrt{3}）$，
∴sin0+acos0=$\sqrt{3}$，
解得a=$\sqrt{3}$，
∴f（x）=sinωx+$\sqrt{3}$cosωx=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）
∵$f（x+\frac{π}{2}）=-f（x）$，
∴f（x+π）=-f（x+$\frac{π}{2}$）=f（x），
∴函數f（x）的周期為π，
∴ω=$\frac{2π}{π}$=2，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∵將其圖象向右平移m（m＞0）個單位長度，所得函數圖象關于y軸對稱，
∴$\frac{π}{3}$-2m=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
∴m=-$\frac{π}{12}$-$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
當k=-1時，最小，最小為$\frac{5π}{12}$，
故選：D

點評 本題考查了三角函數的化簡與圖象平移的應用問題，是基礎題目．