Question

5．已知函數(shù)f（x）=lnx-a（x+1）（a∈R）．
（1）若函數(shù)h（x）=$\frac{f（x）+a（x+2）}{x}$的圖象與函數(shù)g（x）=1的圖象在區(qū)間（0，e ²]上有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若a＞1，且a∈N*，曲線y=f （x） 在點(diǎn) （1，f（ 1）） 處的切線l與x軸，y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（x₀，0 ），B（ 0，y₀），當(dāng)$\frac{1}{{x}_{0}^{2}}$+$\frac{1}{{y}_{0}^{2}}$取得最小值時，求切線l的方程．

Answer 1

分析 （1）問題轉(zhuǎn)化為$\frac{lnx+a}{x}=1$在x∈（0，e²]上有解，即a=x-lnx在x∈（0，e²]上有解；
（2）求出A，B的坐標(biāo)，得出$\frac{1}{{x}_{0}^{2}}$+$\frac{1}{{y}_{0}^{2}}$的表達(dá)式，即可得出$\frac{1}{{x}_{0}^{2}}$+$\frac{1}{{y}_{0}^{2}}$的取得最小值時，切線l的方程．

解答 解：（1）問題轉(zhuǎn)化為$\frac{lnx+a}{x}=1$在x∈（0，e²]上有解，
即a=x-lnx在x∈（0，e²]上有解
令φ（x）=x-lnx，x∈（0，e²]${φ^'}（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$，∴φ（x）在（0，1）上單減，在（1，e²）上單增，
∴φ（x）_min=φ（1）=1，x→0時，φ（x）→+∞，當(dāng)x∈（0，e²]時，φ（x）的值域?yàn)閇1，+∞），
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）       …（6分）
（2）$f'（x）=\frac{1}{x}-a$，切線斜率k=f'（1）=1-a，切點(diǎn)為（1，-2a），
所以切線l的方程為y+2a=（1-a）（x-1），
分別令 y=0，x=0，得切線與x軸，y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（$\frac{a+1}{1-a}$，0），B（0，-1-a），
∴${x_0}=\frac{a+1}{1-a}，{y_0}=-1-a$，
∴$\frac{1}{x_0^2}+\frac{1}{y_0^2}=\frac{{{{（{a-1}）}^2}+1}}{{{{（{a+1}）}^2}}}=\frac{{{{（{a+1}）}^2}-4（{a+1}）+5}}{{{{（{a+1}）}^2}}}=\frac{5}{{{{（{a+1}）}^2}}}-\frac{4}{a+1}+1$，
當(dāng)$\frac{1}{a+1}=-\frac{-4}{2×5}=\frac{2}{5}$，
即$a=\frac{3}{2}$時，$\frac{1}{x_0^2}+\frac{1}{y_0^2}$取得最小值，但a＞1且a∈N^*，所以當(dāng)a=2時，$\frac{1}{x_0^2}+\frac{1}{y_0^2}$取得最小值．
此時，切線l的方程為y+4=（1-2）（x-1），即x+y+3=0．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與幾何意義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．