Question

10．記min{x，y}=$\left\{\begin{array}{l}{y，x≥y}\\{x，x＜y}\end{array}\right.$設f（x）=min{x²，x³}，則（　�。�

• A． 存在t＞0，|f（t）+f（-t）|＞f（t）-f（-t）
• B． 存在t＞0，|f（t）-f（-t）|＞f（t）-f（-t）
• C． 存在t＞0，|f（1+t）+f（1-t）|＞f（1+t）+f（1-t）
• D． 存在t＞0，|f（1+t）-f（1-t）|＞f（1+t）-f（1-t）

Answer 1

分析 求出f（x）的解析式，對t的范圍進行討論，依次判斷各選項左右兩側函數的單調性和值域，從而得出答案．

解答 解：x²-x³=x²（1-x），
∴當x≤1時，x²-x³≥0，當x＞1時，x²-x³＜0，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x＞1}\\{{x}^{3}，x≤1}\end{array}\right.$．
若t＞1，則|f（t）+f（-t）|=|t²+（-t）³|=|t²-t³|=t³-t²，
|f（t）-f（-t）|=|t²+t³|=t²+t³，
f（t）-f（-t）=t²-（-t）³=t²+t³，
若0＜t＜1，|f（t）+f（-t）|=|t³+（-t）³|=0，
|f（t）-f（-t）|=|t³+t³|=2t³，
f（t）-f（-t）=t³-（-t）³=2t³，
當t=1時，|f（t）+f（-t）|=|1+（-1）|=0，
|f（t）-f（-t）|=|1-（-1）|=2，
f（t）-f（-t）=1-（-1）=2，
∴當t＞0時，|f（t）+f（-t）|＜f（t）-f（-t），|f（t）-f（-t）|=f（t）-f（-t），
故A錯誤，B錯誤；
當t＞0時，令g（t）=f（1+t）+f（1-t）=（1+t）²+（1-t）³=-t³+4t²-t+2，
則g′（t）=-3t²+8t-1，令g′（t）=0得-3t²+8t-1=0，
∴△=64-12=52，∴g（t）有兩個極值點t₁，t₂，
∴g（t）在（t₂，+∞）上為減函數，
∴存在t₀＞t₂，使得g（t₀）＜0，
∴|g（t₀）|＞g（t₀），
故C正確；
令h（t）=（1+t）-f（1-t）=（1+t）²-（1-t）³=t³-2t²+5t，
則h′（t）=3t²-4t+5=3（t-$\frac{2}{3}$）²+$\frac{11}{3}$＞0，
∴h（t）在（0，+∞）上為增函數，∴h（t）＞h（0）=0，
∴|h（t）|=h（t），即|f（1+t）-f（1-t）|=f（1+t）-f（1-t），
故D錯誤．
故選C．

點評 本題考查了函數單調性判斷，分類討論思想，屬于中檔題．