Question

20．在直角坐標系xOy中，圓C的方程為（x-1）²+（y-1）²=2，在以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=2\sqrt{2}$．
（1）寫出圓C的參數(shù)方程和直線l的普通方程；
（2）設(shè)點P為圓C上的任一點，求點P到直線l距離的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意求出圓C的參數(shù)方程和直線l的普通方程；
（2）由題意設(shè)P（$1+\sqrt{2}cosα$，$1+\sqrt{2}sinα$），由點到直線的距離公式表示出點P到直線l距離，利用兩角和的正弦公式化簡后，由正弦函數(shù)的值域求出答案．

解答 解：（1）∵圓C的方程為（x-1）²+（y-1）²=2，
∴圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosα}\\{y=1+\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
∵直線l的極坐標方程為$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=2\sqrt{2}$，
∴$ρ（\frac{\sqrt{2}}{2}sinθ+\frac{\sqrt{2}}{2}cosθ）=2\sqrt{2}$，即ρsinθ+ρcosθ-4=0，
∴直線l的普通方程是x+y-4=0；
（2）由題意設(shè)P（$1+\sqrt{2}cosα$，$1+\sqrt{2}sinα$），
∴點P到直線l距離d=$\frac{|1+\sqrt{2}cosα+1+\sqrt{2}sinα-4|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$
=$\frac{|2sin（α+\frac{π}{4}）-2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}|sin（α+\frac{π}{4}）-1|$，
∵$-1≤sin（α+\frac{π}{4}）≤1$，∴$0≤\sqrt{2}|sin（α+\frac{π}{4}）-1|≤2\sqrt{2}$，
即$0≤d≤2\sqrt{2}$，
∴點P到直線l距離的取值范圍是[0，$2\sqrt{2}$]．

點評 本題考查參數(shù)方程、極坐標方程與普通方程法轉(zhuǎn)化，點到直線的距離公式，兩角和的正弦公式，以及正弦函數(shù)的值域等，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，化簡、計算能力．