Question

8．已知函數(shù)$f（x）=\frac{3x}{2x+3}$，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求證：數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是等差數(shù)列；
（3）設數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n-1•a_n（n≥2），b₁=3，S_n=b₁+b₂+…+b_n，若${S_n}＜\frac{m-2015}{2}$對一切n∈N^*成立，求最小正整數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）a₁=1，a_n+1=f（a_n）=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+3}$，代值計算即可，
（2）由$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{3}$，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（3）b_n=$\frac{9}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），利用“裂項求和”可得S_n，再利用向數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）a₁=1，a_n+1=f（a_n）=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+3}$，
∴a₂=$\frac{3×1}{2×1+3}$=$\frac{3}{5}$，a₃=$\frac{3×\frac{3}{5}}{2×\frac{3}{5}+3}$=$\frac{3}{7}$，a₄=$\frac{3×\frac{3}{7}}{2×\frac{3}{7}+3}$=$\frac{3}{9}$=$\frac{1}{3}$，
（2）證明：由a_n+1=f（a_n）=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+3}$，
得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是以首項為1，公差為$\frac{2}{3}$的等差數(shù)列；
（3）由（2）可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{2}{3}$（n-1）=$\frac{2}{3}$n+$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$（2n+1）
∴a_n=$\frac{3}{2n+1}$，
當n≥2時，b_n=a_n-1•a_n=$\frac{9}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
當n=1時，上式同樣成立，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{9}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{9}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）≤$\frac{9}{2}$，
∵${S_n}＜\frac{m-2015}{2}$對一切n∈N^*成立，
∴$\frac{9}{2}$≤$\frac{m-2015}{2}$，
∴m≥2024，
∴最小正整數(shù)m的值為2024．

點評 本題考查了等差數(shù)列通項公式、“裂項求和”、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．