Question

11．已知t為實數(shù)，函數(shù)f（x）=2log_a（2x-t-2），g（x）=log_ax，其中0＜a＜1．
（1）若函數(shù)f（x）=g（a^x+1）-kx是偶函數(shù)，求實數(shù)k的值；
（2）當x∈[1，4]時，f（x）的圖象始終在g（x）的圖象的下方，求t的取值范圍：

Answer 1

分析 （1）根據(jù)偶函數(shù)的定義可得k的值；
（2）構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得，只需要t＜2x-$\sqrt{x}$-2恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出t的取值范圍即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)y=g（a^x+1）-kx是偶函數(shù)，
∴l(xiāng)og_a（a^-x+1）+kx=log_a（a^x+1）-kx，對任意x∈R恒成立，
∴2kx=log_a（a^x+1）-log_a（a^-x+1）=log_a（ $\frac{{a}^{x}+1}{{a}^{-x}+1}$）=x
∴k=$\frac{1}{2}$；
（2）由題意設h（x）=f（x）-g（x）=2log_a（2x-t-2）-log_ax＜0在x∈[1，4]恒成立，
∴2log_a（2x-t-2）＜log_ax，
∵0＜a＜1，x∈[1，4]，
∴只需要2x-t-2＞$\sqrt{x}$恒成立，
即t＜2x-$\sqrt{x}$-2在[1，4]恒成立，
令y=2x-$\sqrt{x}$-2=2（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{4}$）^2_-$\frac{17}{8}$，x∈[1，4]，
∴x=1時，y取最小值-1，
∴t的取值范圍是（-∞，-1）．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及偶函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)恒成立問題，以及函數(shù)的最值問題，考查了學生的運算能力，屬于中檔題．